[Pagina precedente]...ntro di gravità sia A, appoggiato sopra l'orizonte co 'l termine B, e nell'altro sia sostenuto col vette CG, sopra 'l sostegno N, da una potenza posta in G; e dal centro A e dal termine C caschino, perpendicolari all'orizzonte, AO, CF: dico, il momento di tutto il peso al momento della potenza in G aver la proporzion composta della distanza GN alla distanza NC e della FB alla BO. Facciasi, come la linea FB alla BO, così la NC alla X: ed essendo tutto il peso A sostenuto dalle due potenze poste in B e C, la potenza B alla C è come la distanza FO alla OB; e componendo, le due potenze B, C insieme, cioè il total momento di tutto 'l peso A, alla potenza in C è come la linea FB alla BO, cioè come la NC alla X: ma il momento della potenza in C al momento della potenza in G è come la distanza GN alla NC: adunque, per la perturbata, il total peso A al momento della potenza in G è come la GN alla X. Ma la proporzione di GN ad X è composta della proporzione di GN ad NC e di quella di NC ad X, cioè di FB a BO; adunque il peso A alla potenza che lo sostiene in G ha la proporzione composta della GN ad NC e di quella di FB a BO: ch'è quello che si doveva dimostrare.
Or tornando al nostro primo proposito, intese tutte le cose sin qui dichiarate, non sarà difficile l'intender la ragione onde avvenga che un prisma o cilindro solido, di vetro, acciaio, legno o altra materia frangibile, che sospeso per lungo sosterrà gravissimo peso che gli sia attaccato, ma in traverso (come poco fa dicevamo) da minor peso assai potrà tal volta essere spezzato, secondo che la sua lunghezza eccederà la sua grossezza. [v. figura 18] Imperò che figuriamoci il prisma solido ABCD, fitto in un muro dalla parte AB, e nell'altra estremità s'intenda la forza del peso E (intendendo sempre, il muro esser eretto all'orizonte, ed il prisma o cilindro fitto nel muro ad angoli retti): è manifesto che, dovendosi spezzare, si romperà nel luogo B, dove il taglio del muro serve per sostegno, e la BC per la parte della leva dove si pone la forza; e la grossezza del solido BA è l'altra parte della leva, nella quale è posta la resistenza, che consiste nello staccamento che s'ha da fare della parte del solido BD, che è fuor del muro, da quella che è dentro: e per le cose dichiarate, il momento della forza posta in C al momento della resistenza, che sta nella grossezza del prisma cioè nell'attaccamento della base BA con la sua contigua, ha la medesima proporzione che la lunghezza CB alla metà della BA; e però l'assoluta resistenza all'esser rotto, che è nel prisma BD (la quale assoluta resistenza è quella che si fa col tirarlo per diritto, perché allora tanto è il moto del movente quanto quello del mosso), all'esser rotto con l'aiuto della leva BC, ha la medesima proporzione che la lunghezza BC alla metà di AB nel prisma, che nel cilindro è il semidiametro della sua base. E questa sia la nostra prima proposizione. E notate, che questo che dico, si debbe intendere, rimossa la considerazione del peso proprio del solido BD, il qual solido ho preso come nulla pesante: ma quando vorremo mettere in conto la sua gravità , congiugnendola col peso E, doviamo al peso E aggiugnere la metà del peso del solido BD; sì che essendo, v. g., il peso di BD due libbre, e 'l peso di E libbre dieci, si deve pigliare il peso E come se fusse undici.
SIMP. E perché non come se fusse dodici?
SALV. Il peso E, Sig. Simplicio mio, pendente dal termine C, preme, in rispetto alla leva BC, con tutto 'l suo momento di libbre dieci; dove se fusse appeso il solo BD, graverebbe con tutto 'l momento di due libbre: ma, come vedete, tal solido è distribuito per tutta la lunghezza BC uniformemente, onde le parti sue vicine all'estremità B gravano manco delle più remote; sì che in somma, ristorando quelle con queste, il peso di tutto 'l prisma si riduce a lavorare sotto 'l centro della sua gravità , che risponde al mezzo della leva BC: ma un peso pendente dalla estremità C ha momento doppio di quello che arebbe pendendo dal mezzo: e però la metà del peso del prisma si deve aggiugnere al peso E, mentre ci serviamo del momento di amendue, come locati nel termine C.
SIMP. Resto capacissimo; e di più, s'io non m'inganno, parmi che la potenza di amendue i pesi BD ed E, posti così, arebbe l'istesso momento che se tutto il peso di BD col doppio di E fusse appeso nel mezo della leva BC.
SALV. Così è precisamente, e si deve tenere a memoria. Qui possiamo immediatamente intender, come e con che proporzione resista più una verga, o vogliam dir prisma più largo che grosso, all'esser rotto, fattogli forza secondo la sua larghezza, che secondo la grossezza. [v. figura 19] Per intelligenza di che, intendasi una riga ad, la cui larghezza sia ac, e la grossezza, assai minore, cb: si cerca perché, volendola romper per taglio, come nella prima figura, resisterà al gran peso T; ma posta per piatto, come nella seconda figura, non resisterà all'X, minore del T. Il che si fa manifesto, mentre intendiamo, il sostegno essere una volta sotto la linea bc, ed un'altra sotto la ca, e le distanze delle forze esser nell'un caso e nell'altro eguali, cioè la lunghezza bd; ma nel primo caso la distanza della resistenza dal sostegno, che è la metà della linea ca, è maggiore della distanza nell'altro caso, la quale è la metà della bc; però la forza del peso T conviene che sia maggiore della X quanto la metà della larghezza ca è maggiore della metà della grossezza bc, servendoci quella per contralleva della ca, e questa della cb, per superare la medesima resistenza, che è la quantità delle fibre di tutta la base ab. Concludesi per tanto, la medesima riga o prisma più largo che grosso resister più all'esser rotto per taglio che per piatto, secondo la proporzione della larghezza alla grossezza.
Conviene ora che cominciamo a investigare secondo qual proporzione vadia crescendo il momento della propria gravità , in relazione alla propria resistenza all'essere spezzato in un prisma o cilindro, mentre, stando parallelo all'orizonte, si va allungando; il qual momento trovo andar crescendo in duplicata proporzione di quella dell'allungamento. [v. figura 20] Per la cui dimostrazione, intendasi il prisma o cilindro AD fitto saldamente nel muro dall'estremità A, e sia equidistante all'orizonte; ed il medesimo intendasi allungato sino in E, aggiugnendovi la parte BE. È manifesto che l'allungamento della leva AB sino in C cresce per sé solo, cioè assolutamente preso, il momento della forza premente contro alla resistenza dello staccamento e rottura da farsi in A secondo la proporzione di CA e BA: ma, oltre a questo, il peso aggiunto del solido BE al peso del solido AB cresce il momento della gravità premente secondo la proporzione del prisma AE al prisma AB, la qual proporzione è la medesima della lunghezza AC alla AB: adunque è manifesto che, congiunti i due accrescimenti delle lunghezze e delle gravità , il momento composto di amendue è in doppia proporzione di qualunque di esse. Concludasi per tanto, i momenti delle forze de i prismi e cilindri egualmente grossi, ma disegualmente lunghi, esser tra di loro in duplicata proporzione di quella delle lor lunghezze, cioè esser come i quadrati delle lunghezze.
Mostreremo adesso, nel secondo luogo, secondo qual proporzione cresca la resistenza all'essere spezzati ne i prismi e cilindri, mentre restino della medesima lunghezza e si accresca la grossezza. E qui dico che:
Ne i prismi e cilindri egualmente lunghi, ma disegualmente grossi, la resistenza all'esser rotti cresce in triplicata proporzione de i diametri delle lor grossezze, cioè delle lor basi.
[v. figura 21]
I due cilindri siano questi A, B; le cui lunghezze eguali, DG, FH; le basi diseguali, i cerchi i cui diametri CD, EF: dico, la resistenza del cilindro B alla resistenza del cilindro A, ad esser rotti, aver triplicata proporzione di quella che ha il diametro FE al diametro DC. Imperò che, se consideriamo l'assoluta e semplice resistenza che risiede nelle basi, cioè ne i cerchi EF, DC, all'essere strappati facendogli forza col tirargli per diritto, non è dubbio che la resistenza del cilindro B è tanto maggiore che quella del cilindro A, quanto il cerchio EF è maggiore del CD, perché tante più sono le fibre, i filamenti o le parti tenaci, che tengono unite le parti de i solidi. Ma se consideriamo che nel far forza per traverso ci serviamo di due leve, delle quali le parti o distanze dove si applicano le forze sono le linee DG, FH, i sostegni sono ne' punti D, F, ma le altre parti o distanze dove son poste le resistenze sono i semidiametri de i cerchi DC, EF, perché i filamenti sparsi per tutte le superficie de i cerchi è come se tutti si riducessero ne i centri; considerando, dico, tali leve, intenderemo, la resistenza nel centro della base EF contro alla forza di H esser tanto maggiore della resistenza della base CD contro alla forza posta in G (e sono le forze in G ed H di leve uguali DG, FH), quanto il semidiametro FE è maggiore del semidiametro DC. Cresce dunque la resistenza all'esser rotto nel cilindro B sopra la resistenza del cilindro A secondo amendue le proporzioni de i cerchi EF, DC e de i lor semidiametri, o vogliam dir diametri: ma la proporzione de i cerchi è doppia di quella de i diametri: adunque la proporzione delle resistenze, che di quelle si compone, è triplicata della proporzione de i medesimi diametri: che è quello che dovevo provare. Ma perché anco i cubi sono in tripla proporzione de i loro lati, possiamo similmente concludere, le resistenze de i cilindri egualmente lunghi esser tra di loro come i cubi de i lor diametri.
Da questo che si è dimostrato possiamo concludere ancora, le resistenze de i prismi e cilindri egualmente lunghi aver sesquialtera proporzione di quella de gli stessi cilindri. Il che è manifesto: perché i prismi e cilindri egualmente alti hanno fra di loro la medesima proporzione che le lor basi, cioè doppia de i lati o diametri di esse basi; ma le resistenze (come si è dimostrato) hanno triplicata proporzione de i medesimi lati o diametri; adunque la proporzione delle resistenze è sesquialtera della proporzione de gli stessi solidi, ed in consequenza de i pesi de i medesimi solidi.
SIMP. Egli è forza che, avanti che si proceda più oltre, io resti sincerato di certa mia difficoltà . E questa è, che sin qui non ho sentito mettere in considerazione cert'altra sorte di resistenza, la quale mi par che venga diminuita ne i solidi secondo che si vanno più e più allungando, e non solo nell'uso trasversale, ma ancora per lo lungo; in quel modo appunto che veggiamo, una corda lunghissima esser molto meno atta a reggere un gran peso, che se fusse corta: onde io credo che una verga di legno o di ferro più peso assai potrà reggere se sarà corta, che se sarà molto lunga; intendendo sempre usata per lo lungo, e non in traverso, ed anco messo in conto il suo proprio peso, che nella più lunga è maggiore.
SALV. Dubito, Sig. Simplicio, che in questo punto voi, con molti altri, v'inganniate, se però ho ben compreso il vostro concetto, sì che voi vogliate dire che una corda lunga, v. g., quaranta braccia non possa sostenere tanto peso, quanto se fusse un braccio o due della medesima corda.
SIMP. Cotesto ho voluto dire, e sin qui mi par proposizione assai probabile.
SALV. Ma io l'ho per falsa, non che per improbabile; e credo di potervi assai agevolmente cavar d'errore. [v. figura 22] Però ponghiamo questa corda AB, fermata di sopra dal capo A, e dall'altro sia il peso C, dalla cui forza debba essa corda essere rotta: assegnatemi voi, Sig. Simplicio, il luogo particolare dove debba seguir la rottura.
SIMP. Sia nel luogo D.
SALV. Vi domando qual sia la cagione dello strapparsi in D.
SIMP. È la causa di ciò, perché la corda in quella parte non era potente a reggere, v. g., cento libbre di peso, quanto è la parte DB con la pietra C.
SALV. Adunque, tutta volta che tal corda nella parte D venisse violentata dalle medesime cento libbre di peso, ella li si strapperebbe.
SIMP...
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