[Pagina precedente]...lle segnate da a. E si faccia lo stesso con le grandezze F, G, H, K: infatti, poiché in F la grandezza rimanente, cioè b, è eguale ad A, in G se ne prenda una doppia, in H una tripla, ecc.; e queste grandezze prese siano quelle segnate da b; e allo stesso modo si prendano le grandezze segnate da c, e quelle segnate da d e da e. Tutte le grandezze segnate da a [ossia la loro somma] saranno allora eguali a K; la grandezza composta da tutte le b sarà eguale ad H; quella composta dalle c, sarà eguale a G; quella composta da tutte le d, sarà eguale ad F; ed e sarà eguale ad A. Poiché TI è doppia di IL, I sarà il punto dell'equilibrio della grandezza composta da tutte le a; e, similmente, essendo SP doppia di PL, P sarà il punto dell'equilibrio di quella composta da tutte le b; e, per la stessa ragione, N sarà il punto dell'equilibrio della grandezza composta da tutte le c; O lo sarà di quella composta dalle d; ed L [sarà il punto dell'equilibrio] della e. Abbiamo dunque una bilancia TL, alla quale sono appese ad eguali distanze alcune grandezze K, H, G, F, A; e, inoltre, abbiamo un'altra bilancia LI, sulla quale, a distanze similmente eguali, sono appese un altrettanto numero di grandezze, eguali alle predette e disposte nel medesimo ordine: infatti, la grandezza composta da tutte le a, la quale è appesa in I, è eguale alla grandezza K appesa in L; quella composta da tutte le b, la quale è appesa in P, è eguale alla H appesa in P; e, similmente, la grandezza composta dalle c, la quale è appesa in N, è eguale alla G; quella composta dalle d, la quale è appesa in O, è eguale alla F; e infine la e, appesa in L, è eguale alla A. Perciò il centro del composto delle grandezze dividerà le bilance secondo la medesima proporzione: ma uno solo è il centro della grandezza composta dalle grandezze predette: esso sarà dunque un punto comune alla retta TL e alla retta LI; sia esso X. Pertanto, come TX sta a XL, così LX starà a XI, e l'intera TL starà ad LI: ma TL è tripla della LI: perciò anche TX sarà tripla della XL.
Se si prendono un numero qualsiasi di grandezze in modo che la seconda sia superiore alla prima del triplo della prima, la terza sia superiore alla seconda del quintuplo della prima, la quarta sia superiore alla terza di sette volte la prima, e così di seguito l'aumento di ciascuna [grandezza] rispetto alla immediatamente precedente sia multiplo della prima grandezza secondo i numeri impari successivi, [cioè le grandezze] si succedano come i quadrati di linee egualmente eccedentisi l'una l'altra e il cui eccesso sia eguale alla minima; e se [tali grandezze] vengono appese a distanze eguali su una bilancia: il centro dell'equilibrio del composto di tutte [le grandezze] dividerà la bilancia in modo che la parte verso le grandezze minori risulterà maggiore del triplo dell'altra [parte], ma minore del triplo della medesima, qualora si tolga una distanza.
[v. figura 91]
Sulla bilancia BE siano delle grandezze, tali quali si è detto; dalle quali [immaginiamo che] ne vengano tolte alcune, le quali stiano tra di loro nella medesima proporzione in cui erano disposte le grandezze del [teorema] precedente; e siano quelle composte da tutte le a; le altre, segnate da c, saranno distribuite nel medesimo ordine, ma saranno prive della grandezza massima. ED sia tripla di DB, e GF tripla di FB; D sarà il centro dell'equilibrio della grandezza composta da tutte le a; F, quello della grandezza composta da tutte le c: perciò il centro della grandezza composta da tutte le a e le c andrà a cadere tra D ed F. Sia esso O. È pertanto manifesto che EO è più del triplo della OB, mentre GO è meno del triplo della OB. Che è quello che si doveva dimostrare.
Se in un cono qualsiasi, o in una porzione di cono, si inscrive una figura [costituita] da cilindri aventi eguale altezza, e se ne circoscrive un'altra, e se, inoltre, l'asse del cono viene diviso in modo che la parte compresa tra il punto di divisione e il vertice sia tripla dell'altra; il centro di gravità della figura inscritta sarà più vicino del suddetto punto di divisione alla base del cono, mentre il centro di gravità della figura circoscritta sarà più vicino al vertice del medesimo punto.
[v. figura 92]
Sia dunque un cono, il cui asse nm sia diviso in s in modo che ns sia tripla della rimanente sm. Dico, che il centro di gravità di qualsiasi figura, inscritta al cono nel modo che si è detto, si trova sull'asse nm ed è più vicino del punto s alla base del cono; mentre il centro di gravità della figura circoscritta si trova similmente sull'asse nm, ed e piu vicino di s al vertice. Si intenda, pertanto, la figura inscritta [costituita] da cilindri, i cui assi mc, cb, be, ea siano eguali. Ordunque, il primo cilindro, il cui asse è mc, rispetto al cilindro, il cui asse è cb, ha la medesima proporzione che la sua base ha rispetto alla base dell'altro (infatti, le loro altezze sono eguali); ma questa proporzione è eguale a quella che il quadrato cn ha al quadrato nb. E similmente si mostrerà che il cilindro, il cui asse è cb, rispetto al cilindro, il cui asse è be, ha la medesima proporzione che il quadrato bn ha rispetto al quadrato ne; mentre il cilindro, il cui asse è be, rispetto al cilindro, [che sta] intorno all'asse ea, ha la medesima proporzione che il quadrato en ha rispetto al quadrato na. Ora, le linee nc, nb, en, na si eccedono egualmente tra di loro, e i loro eccessi sono eguali alla minima, cioè alla na. Vi sono pertanto alcune grandezze, cioè i cilindri inscritti, tali che stanno tra di loro successivamente nella medesima proporzione in cui si trovano i quadrati di linee che si eccedono egualmente e i cui eccessi siano eguali alla minima: e [quei cilindri] sono disposti sulla bilancia ti in modo che i loro singoli centri di gravità si trovino su di essa ad eguali distanze. Per le cose che si sono sopra dimostrate, risulta pertanto che il centro di gravità del composto di tutti [i cilindri] divide la bilancia ti in modo che la parte verso t sia più del triplo dell'altra. Sia o questo centro; to, dunque, è più che tripla della oi. Ma tn è tripla della im; dunque, l'intera mo sarà minore della quarta parte dell'intera mn, della quale si è posta quarta parte la ms. Ne risulta dunque che il punto o è più vicino di s alla base del cono. D'altra parte, sia poi circoscritta una figura costituita da cilindri, i cui assi mc, cb, be, ea, an sono eguali tra loro. Similmente, come per i cilindri inscritti, si mostrerà che essi [cilindri circoscritti] stanno tra loro come i quadrati delle linee mn, nc, bn, ne, an, le quali si eccedono egualmente e il cui eccesso è eguale alla minima an; perciò, per la precedente [proposizione], il centro di gravità del composto di tutti i cilindri così disposti, il quale [centro] sia u, divide la bilancia ri in modo che la parte verso r, cioè ru, è più che tripla dell'altra [parte] ui; tu, invece, è minore del triplo della medesima. Ma nt è tripla della im; dunque, l'intera um è maggiore della quarta parte dell'intera mn, della quale si è posta quarta parte la ms. Pertanto il punto u è più vicino del punto s al vertice. Che è quello che si doveva mostrare.
Dato un cono, è possibile circoscrivere ad esso una figura e inscrivergliene un'altra, [costituite] da cilindri aventi eguale altezza, in modo che la linea compresa tra il centro di gravità della figura circoscritta e il centro di gravità di quella inscritta, sia minore di qualsiasi linea assegnata.
[v. figura 93]
Sia dato un cono, il cui asse sia ab; sia inoltre assegnata la retta k. Dico: si ponga a parte il cilindro l, eguale a quello che sia inscrivibile nel cono e abbia per altezza la metà dell'asse ab; si divida poi ab in c, in modo che ac sia tripla della cb, e quale è la proporzione che ac ha rispetto a k, tale sia anche la proporzione che il cilindro l ha rispetto al solido x: si circoscriva poi al cono una figura [costituita] da cilindri aventi eguale altezza, e gli se ne inscriva un'altra, in modo che la figura circoscritta ecceda quella inscritta per una quantità minore del solido x; il centro di gravità della figura circoscritta sia e, il quale cadrà al di sopra di c; il centro della figura inscritta sia, invece, s, che cadrà al di sotto di c. Dico allora che la linea es è minore della k. Infatti, qualora non lo fosse, si ponga eo eguale alla ca: pertanto, poiché oe ha rispetto a k la medesima proporzione che l ha ad x, poiché inoltre la figura inscritta non è minore del cilindro l, mentre l'eccesso, per il quale tale figura è superata da quella circoscritta, è minore del solido x: la figura inscritta avrà pertanto rispetto al suddetto eccesso una proporzione maggiore di quella che oe ha rispetto a k. Ma la proporzione di oe a k non è minore di quella di oe ad es, poiché es non si pone minore di k: pertanto la figura inscritta rispetto all'eccesso, per il quale è superata dalla figura circoscritta, ha una proporzione maggiore di quella di oe ad es. Quale è dunque la proporzione della figura inscritta al suddetto eccesso, tale sarà la proporzione che una linea maggiore della eo ha rispetto alla linea es. Sia essa er; ora, il centro di gravità della figura inscritta è s, mentre quello della figura circoscritta è e: risulta, dunque, che il centro di gravità delle porzioni rimanenti, per le quali la figura circoscritta supera quella inscritta, si trova sulla linea re, e proprio in quel punto, che la delimita in modo che, quale è la proporzione che la figura inscritta ha rispetto alle dette porzioni, tale sia anche la proporzione che la linea, compresa tra e e quel punto, ha rispetto alla linea es. Ma questa è la proporzione che re ha ad es; dunque, il centro di gravità delle rimanenti porzioni, per le quali la figura circoscritta supera quella inscritta, sarà r: ciò che è impossibile; infatti il piano condotto per r ed equidistante dalla base del cono non interseca le suddette porzioni. È pertanto falso che la linea es non sia minore della k; sarà dunque minore. Si dimostrerà poi, in modo analogo, che ciò è possibile anche per una piramide.
Da ciò è manifesto che a un cono dato è possibile circoscrivere una figura e inscriverne un'altra, [costituite] da cilindri aventi eguale altezza, in modo che le linee, le quali sono comprese tra i loro centri di gravità e il punto che divide l'asse del cono in modo che la parte verso il vertice è tripla dell'altra, siano minori di una qualunque linea data. Infatti, poiché, come si è dimostrato, il detto punto, che divide l'asse nel modo che si è detto, si trova sempre tra i centri di gravità della figura circoscritta e di quella inscritta; e poiché la linea, che è intermedia tra quei medesimi centri di gravità, può essere fatta minore di una qualsiasi linea assegnata; sarebbe molto minore della medesima linea assegnata quella linea che è compresa tra uno dei due centri e il suddetto punto che divide l'asse.
In qualsiasi cono o piramide il centro di gravità divide l'asse in modo che la parte verso il vertice è tripla della rimanente [parte] verso la base.
[v. figura 94]
Sia un cono, il cui asse ab sia diviso in c in modo che ac sia tripla della rimanente cb: bisogna mostrare che c è il centro di gravità del cono. Infatti, se non lo è, il centro del cono sarà o al di sopra o al di sotto del punto c. In primo luogo [immaginiamo che] sia al di sotto, e sia e; si ponga a parte la linea lp eguale a ce, e la si divida a caso in n; e quale è la proporzione che [la somma di] ambedue le be e pn insieme ha rispetto a pn, tale sia la proporzione che il cono ha al solido x; si inscriva poi al cono una figura solida [costituita] da cilindri aventi eguale altezza, [figura] il cui centro di gravità si trovi a una distanza dal punto c più breve della linea ln; e l'eccesso, per il quale essa è superata dal cono, sia minore del solido x. Che ciò sia possibile è, infatti, manifesto per le cose dimostrate. Sia allora inscritta, nel modo richiesto, la figura, il cui centro di gravità sia i. Pertanto, la linea ie sarà maggio...
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