[Pagina precedente]...96 35 79 3746 11
56 9272 34 80 3420 10
57 9136 33 81 3090 9
58 8989 32 82 2756 8
59 8829 31 83 2419 7
60 8659 30 84 2079 6
61 8481 29 85 1736 5
62 8290 28 86 1391 4
63 8090 27 87 1044 3
64 7880 26 88 698 2
65 7660 25 89 349 1
66 7431 24
67 7191 23
68 6944 22
Non sarà inutile, mercé l'ausilio della precedente tavola, comporne un'altra che unisca le altezze delle medesime semiparabole descritte da proietti lanciati con lo stesso impeto.
Altezze delle semiparabole il cui impeto sia il medesimo.
Gr. Gr. Gr. Gr.
1 3 46 5173 25 1786 70 8830
2 13 47 5346 26 1922 71 8940
3 28 48 5523 27 2061 72 9045
4 50 49 5698 28 2204 73 9144
5 76 50 5868 29 2351 74 9240
6 108 51 6038 30 2499 75 9330
7 150 52 6207 31 2653 76 9415
8 194 53 6379 32 2810 77 9493
9 245 54 6546 33 2967 78 9567
10 302 55 6710 34 3128 79 9636
11 365 56 6873 35 3289 80 9698
12 432 57 7033 36 3456 81 9755
13 506 58 7190 37 3621 82 9806
14 585 59 7348 38 3793 83 9851
15 670 60 7502 39 3962 84 9890
16 760 61 7649 40 4132 85 9924
17 855 62 7796 41 4302 86 9951
18 955 63 7939 42 4477 87 9972
19 1060 64 8078 43 4654 88 9987
20 1170 65 8214 44 4827 89 9998
21 1285 66 8346 45 5000 90 10000
22 1402 67 8474
23 1527 68 8597
24 1685 69 8715
SAGR. Questa vedrò io molto volentieri, mentre che per essa potrò venir in cognizione della differenza de gl'impeti e delle forze che si ricercano per cacciar il proietto nella medesima lontananza con tiri che chiamano di volata; la qual differenza credo che sia grandissima secondo le diverse elevazioni: sì che, per esempio, se altri volesse alla elevazione di 3 o 4 gradi, o di 87 o 88, far cader la palla dove fu cacciata alla elevazione di 45 (dove si è mostrato ricercarsi l'impeto minimo), credo si ricercherebbe un eccesso immenso di forza.
SALV. V. S. stima benissimo; e vedrà che per eseguire l'opera intera in tutte l'elevazioni, bisogna andar a gran passo verso l'impeto infinito. Or veggiamo la costruzzione della tavola.
PROBLEMA. PROPOSIZIONE 13
Date le ampiezze delle semiparabole, ordinate nella tavola precedente, supponendo comune l'impeto con cui ciascuna viene descritta, ricavarne le rispettive altezze.
Non sarà inutile presentare una terza tavola, contenente le altezze e le sublimità delle semiparabole aventi la medesima ampiezza.
Tavola contenente le altezze e le sublimità delle semiparabole aventi le medesime ampiezze, cioè di 10.000 parti, calcolata per ogni singolo grado di elevazione.
Gr. Altit. Subl. Gr. Altit. Subl.
1 87 286533 46 5177 4828
2 175 142450 47 5363 4662
3 262 95802 48 5553 4502
4 349 71531 49 5752 4345
5 437 57142 50 5959 4196
6 525 47573 51 6174 4048
7 614 40716 52 6399 3906
8 702 35587 53 6635 3765
9 792 31565 54 6882 3632
10 881 28367 55 7141 3500
11 972 25720 56 7413 3372
12 1063 23518 57 7699 3247
13 1154 21701 58 8002 3123
14 1246 20056 59 8332 3004
15 1339 18663 60 8600 2887
16 1434 17405 61 9020 2771
17 1529 16355 62 9403 2658
18 1624 15389 63 9813 2547
19 1722 14522 64 10251 2438
20 1820 13736 65 10722 2331
21 1919 13024 66 11230 2226
22 2020 12376 67 11779 2122
23 2123 11778 68 12375 2020
24 2226 11230 69 13025 1919
25 2332 10722 70 13237 1819
26 2439 10253 71 14521 1721
27 2547 9814 72 15388 1624
28 2658 9404 73 16354 1528
29 2772 9020 74 17437 1433
30 2887 8659 75 18660 1339
31 3008 8336 76 20054 1246
32 3124 8001 77 21657 1154
33 3247 7699 78 23523 1062
34 3373 7413 79 25723 972
35 3501 7141 80 28356 881
36 3633 6882 81 31569 792
37 3768 6635 82 35577 702
38 3906 6395 83 40222 613
39 4049 6174 84 47572 525
40 4196 5959 85 57150 437
41 4346 5752 86 71503 349
42 4502 5553 87 95405 262
43 4662 5362 88 143181 174
44 4828 5177 89 286499 87
45 5000 5000 90 infinita
PROPOSIZIONE 14
Determinare, per ogni grado di elevazione, l'altezza e la sublimità delle semiparabole aventi eguale ampiezza.
Le otterremo tutte per mezzo di un facile procedimento, infatti, posto che l'ampiezza della semiparabola sia sempre di 10.000 parti, la metà della tangente darà , di un qualunque grado di elevazione, la rispettiva altezza. Come, ad esempio, nella semiparabola, la cui elevazione sia di 30 gradi, e la cui ampiezza sia - come si è posto - di 10.000 parti, l'altezza sarà 2887; tale è, infatti, approssimatamente, la misura della metà della tangente. Una volta trovata l'altezza, ricaveremo la sublimità in questo modo. Poiché si è dimostrato che la metà dell'ampiezza di una semiparabola è media proporzionale tra l'altezza e la sublimità , essendosi già trovata l'altezza ed essendo la metà dell'ampiezza sempre la medesima, cioè di 5000 parti, se divideremo il quadrato di quest'ultima per l'altezza data, ne risulterà la sublimità cercata. Nell'esempio si era trovato che l'altezza è 2887; ora, il quadrato di 5000 parti è 25.000.000; che, diviso per 2887, dà approssimatamente, per la sublimità cercata, 8659.
SALV. Or qui si vede, primieramente, come è verissimo il concetto accennato di sopra, che nelle diverse elevazioni, quanto più si allontanano dalla media, o sia nelle più alte o nelle più basse, tanto si ricerca maggior impeto e violenza per cacciar il proietto nella medesima lontananza. Imperò che, consistendo l'impeto nella mistione de i due moti, orizontale equabile e perpendicolare naturalmente accelerato, del qual impeto vien ad esser misura l'aggregato dell'altezza e della sublimità , vedesi dalla proposta tavola, tale aggregato esser minimo nell'elevazione di gr. 45, dove l'altezza e la sublimità sono eguali, cioè 5000 ciascheduna, e l'aggregato loro 10000: che se noi cercheremo ad altra maggiore altezza, come, per esempio, di gr. 50, troveremo l'altezza esser 5959, e la sublimità 4196, che giunti insieme sommano 10155; e tanto troveremo parimente esser l'impeto di gr. 40, essendo questa e quella elevazione egualmente lontane dalla media. Dove doviamo secondariamente notare, esser vero che eguali impeti si ricercano a due a due delle elevazioni distanti egualmente dalla media, con questa bella alternazione di più, che l'altezze e le sublimità delle superiori elevazioni contrariamente rispondono alle sublimità ed altezze delle inferiori; sì che dove, nell'esempio proposto, nell'elevazione di 50 gr. l'altezza è 5959 e la sublimità 4196, nell'elevazione di gr. 40 accade all'incontro l'altezza esser 4196 e la sublimità 5959: e l'istesso accade in tutte l'altre senza veruna differenza, se non in quanto, per fuggir il tedio del calcolare, non si è tenuto conto di alcune frazzioni, le quali in somme così grandi non sono di momento né di progiudizio alcuno.
SAGR. Io vo osservando, come delli due impeti orizontale e perpendicolare, nelle proiezzioni, quanto più sono sublimi, tanto meno vi si ricerca dell'orizontale, e molto del perpendicolare; all'incontro, nelle poco elevate grande bisogna che sia la forza dell'impeto orizontale, che a poca altezza deve cacciar il proietto. Ma se ben io capisco benissimo, che nella totale elevazione di gr. 90, per cacciar il proietto un sol dito lontano dal perpendicolo, non basta tutta la forza del mondo, ma necessariamente deve egli ricadere nell'istesso luogo onde fu cacciato; non però con simil sicurezza ardirei di affermare, che anco nella nulla elevazione, cioè nella linea orizontale, non potesse da qualche forza, ben che non infinita, esser in alcuna lontananza spinto il proietto, sì che, per esempio, né anco una colubrina sia potente a spignere una palla di ferro orizontalmente, come dicono, di punto bianco, cioè di punto niuno, che è dove non si dà elevazione. Io dico che in questo caso resto con qualche ambiguità : e che io non neghi resolutamente il fatto, mi ritiene un altro accidente, che par non meno strano, e pure ne ho la dimostrazione concludente necessariamente. E l'accidente è l'esser impossibile distendere una corda sì, che resti tesa dirittamente e parallela all'orizonte; ma sempre fa sacca e si piega, né vi è forza che basti a tenderla rettamente.
SALV. Adunque, Sig. Sagredo, in questo caso della corda cessa in voi la maraviglia circa la stravaganza dell'effetto, perché ne avete la dimostrazione; ma se noi ben considereremo, forse troveremo qualche corrispondenza tra l'accidente del proietto e questo della corda. La curvità della linea del proietto orizontale par che derivi dalle due forze, delle quali una (che è quella del proiciente) lo caccia orizontalmente, e l'altra (che è la propria gravità ) lo tira in giù a piombo. Ma nel tender la corda vi sono le forze di coloro che orizontalmente la tirano, e vi è ancora il peso dell'istessa corda, che naturalmente inclina al basso. Son dunque queste due generazioni assai simili. E se voi date al peso della corda tanta possanza ed energia di poter contrastare e vincer qual si voglia immensa forza che la voglia distendere drittamente, perché vorrete negarla al peso della palla? Ma più voglio dirvi, recandovi insieme maraviglia e diletto, che la corda così tesa, e poco o molto tirata, si piega in linee, le quali assai si avvicinano alle paraboliche: e la similitudine è tanta, che se voi segnerete in una superficie piana ed eretta all'orizonte una linea parabolica, e tenendola inversa, cioè col vertice in giù e con la base parallela all'orizonte, facendo pendere una catenella sostenuta nelle estremità della base della segnata parabola, vedrete, allentando più o meno la detta catenuzza, incurvarsi e adattarsi alla medesima parabola, e tale adattamento tanto più esser preciso, quanto la segnata parabola sarà men curva, cioè più distesa; sì che nelle parabole descritte con elevazioni sotto a i gr. 45, la catenella camina quasi ad unguem sopra la parabola.
SAGR. Adunque con una tal catena sottilmente lavorata si potrebbero in un subito punteggiar molte linee paraboliche sopra una piana superficie.
SALV. Potrebbesi, ed ancora con qualche utilità non piccola, come appresso vi dirò.
SIMP. Ma prima che passar più avanti, vorrei pur io ancora restar assicurato almeno di quella proposizione della quale voi dite essercene dimostrazione necessariamente concludente; dico dell'esser impossibile, per qualunque immensa forza, fare star tesa una corda drittamente ed equidistante all'orizonte.
SAGR. Vedrò se mi sovviene della dimostrazione; per intelligenza della quale bisogna, Sig. Simplicio, che voi supponghiate per vero quello che in tutti gli strumenti mecanici, non solo con l'esperienza, ma con la dimostrazione ancora, si verifica: e questo è, che la velocità del movente, ben che di forza debole, può superare la resistenza, ben che grandissima, di un resistente che lentamente debba esser mosso, tutta volta che maggior proporzione abbia la velocità del movente alla tardità del resistente, che non ha la resistenza di quel che deve esser mosso alla forza del movente.
SIMP. Questo mi è notissimo, e dimostrato da Aristotele nelle sue Quistioni Mecaniche; e manifestamente si vede nella leva e nella stadera, dove il romano, che non pesi più di 4 libre, leverà un peso di 400, mentre che la lontananza di esso romano dal centro, sopra 'l quale si volge la stadera, sia più di cento volte maggiore della distanza dal medesimo centro di quel punto dal quale pende il gran peso: e questo avviene, perché, nel calar che fa il romano, passa spazio più di cento volte maggiore dello spazio per il quale nel medesimo tempo monta il gran peso; che è l'istesso che dire, che il piccolo romano si muove con velocità più che cento volte maggiore della velocità del gran peso.
SAGR. Voi ottimamente discorrete, e non mettete dubbio alcuno nel concedere, che per piccola che sia la forza del movente, supererà qualsivoglia gran resistenza, tutta volta che quello più avanzi di velocità , ch'ei non cede di vigore e gravità . Or venghiamo al caso della corda: e segnando un poco di figura [v. figura 81...
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