[Pagina precedente]...; e poiché, per costruzione, come IM sta ad MN così AC sta a CE, ne risulta che la medesima CE si trova ad essere di poco maggiore della CA, e, di conseguenza, il punto E si trova ad essere prossimo al punto A, e CO forma con CS un angolo molto acuto, coincidendo quasi l'una con l'altra. Viceversa, se la linea data IR sarà di pochissimo superiore al doppio della medesima AC, IM sarà una linea brevissima; ne verrà che anche la AC sarà minima rispetto alla CE, la quale sarà lunghissima e quanto più prossima alla parallela orizzontale passante per C. E di qui possiamo ricavare che, se nella figura accanto dopo la discesa sul piano inclinato AC il moto viene riflesso lungo la linea orizzontale, quale sarebbe CT, lo spazio che il mobile successivamente percorrerebbe in un tempo eguale al tempo della discesa per AC, sarebbe esattamente doppio dello spazio AC. Sembra inoltre che qui sia anche adatto un consimile ragionamento: infatti, è chiaro, dal fatto che OE sta ad EF come FE ad EC, che proprio la FC determina il tempo della discesa per CO. Se poi il tratto orizzontale TC, doppio di CA, vien diviso a metà in V, prolungato verso X si estenderà all'infinito prima che possa incontrare il prolungamento di AE, e la proporzione della linea infinita TX all'infinita VX non sarà diversa dalla proporzione dell'infinita VX all'infinita XC.
A questa stessa conclusione saremmo potuti giungere seguendo un altro procedimento, rifacendo un ragionamento consimile a quello seguìto nella dimostrazione della proposizione prima. [v. figura 59] Riprendiamo, infatti, il triangolo ABC, che sulle parallele alla base BC ci rappresenta i gradi di velocità continuamente aumentati secondo il crescere del tempo, le quali [parallele], essendo infinite, siccome infiniti sono i punti nella linea AC e gli istanti in un tempo qualsiasi, daranno origine alla superficie stessa del triangolo; se intendiamo che il moto continui per altrettanto tempo, ma non più accelerato, bensì equabile, secondo il massimo grado della velocità acquistata, il quale grado è rappresentato dalla linea BC; tali gradi di velocità formeranno un aggregato simile al parallelogramma ADBC, che è doppio del triangolo ABC: perciò lo spazio percorso nel medesimo tempo con gradi di velocità consimili [tutti eguali a BC], sarà doppio dello spazio percorso coi gradi di velocità rappresentati dal triangolo ABC. Ma su un piano orizzontale il moto è equabile, allorché non intervenga nessuna causa di accelerazione o di ritardamento; dunque, si conclude che lo spazio CD percorso in un tempo eguale al tempo AC è doppio dello spazio AC: infatti quest'ultimo viene percorso con moto accelerato a partire dalla quiete, secondo le parallele del triangolo; quello, invece, secondo le parallele del parallelogramma, le quali, quando siano prese nella loro infinità , risultano doppie delle infinite parallele del triangolo.
Inoltre, è lecito aspettarsi che, qualunque grado di velocità si trovi in un mobile, gli sia per sua natura indelebilmente impresso, purché siano tolte le cause esterne di accelerazione o di ritardamento; il che accade soltanto nel piano orizzontale; infatti nei piani declivi è di già presente una causa di accelerazione, mentre in quelli acclivi [è già presente una causa] di ritardamento: da ciò segue parimenti che il moto sul piano orizzontale è anche eterno; infatti, se è equabile, non scema o diminuisce, né tanto meno cessa. E per di più, poiché esiste un grado di velocità acquistato dal mobile nella discesa naturale, e poiché esso è, per sua natura, indelebile ed eterno, bisogna considerare che, se dopo la discesa per un piano declive il moto viene riflesso su un altro piano acclive, su quest'ultimo interviene già una causa di ritardamento: su tale piano, infatti, il medesimo mobile scende naturalmente; perciò ne nasce una certa mescolanza di proprietà contrarie, cioè del grado di velocità che è stato acquistato nella precedente discesa, il quale [grado di velocità ] di per se stesso porterebbe il mobile a muoversi all'infinito di moto uniforme, e della naturale propensione al moto deorsum secondo quella medesima proporzione di accelerazione con la quale sempre si muove. Perciò, investigando su che cosa accade allorché il mobile, dopo la discesa per un piano declive, viene riflesso su un piano acclive, sembrerà oltremodo ragionevole ammettere che il massimo grado di velocità acquistato nella discesa per sé si conservi sempre lo stesso sul piano ascendente; e che tuttavia nella ascesa gli si aggiunga la naturale inclinazione deorsum, cioè un moto accelerato a partire dalla quiete sempre secondo una proporzione data. Se poi tali cose risulteranno troppo oscure da intendere, si faranno più chiare con l'aiuto di qualche disegno.
[v. figura 60]
Si intenda pertanto che la discesa si sia svolta sul piano declive AB, e che in séguito il moto continui riflesso su un altro piano acclive BC; e, in primo luogo, i piani siano eguali ed elevati sull'orizzonte GH con angoli [di inclinazione] eguali: già sappiamo che il mobile, che discende per AB a partire dalla quiete in A, acquista gradi di velocità secondo il crescere del tempo; inoltre [sappiamo] che il grado di velocità acquistato in B è il massimo, e per sua natura immutabilmente impresso, rimosse beninteso le cause di nuova accelerazione o di ritardamento: vogliam dire, di accelerazione, se [il mobile] procede ancora sul prolungamento del medesimo piano; di ritardamento, allorché viene riflesso sul piano acclive BC: ma sul piano orizzontale GH il moto continuerebbe equabile all'infinito, col grado di velocità acquistato in B nella discesa da A; e la velocità sarebbe tale, che in un tempo eguale al tempo della discesa per AB [il mobile] percorrerebbe sull'orizzonte uno spazio doppio del medesimo AB. Immaginiamo ora che il medesimo mobile con il medesimo grado di velocità si muova equabilmente sul piano BC, sì che, anche su questo, in un tempo eguale al tempo della discesa per AB, percorrerebbe sul prolungamento di BC uno spazio doppio del medesimo spazio AB; intendiamo tuttavia che, non appena comincia a salire, per sua medesima natura gli sopravviene ciò stesso che gli accadde [nel muoversi] da A sul piano AB, cioè un moto di discesa a partire dalla quiete secondo medesimi gradi di accelerazione, in virtù dei quali, come già accadde sul piano AB, in uno stesso tempo scenderebbe sul piano riflesso per uno spazio eguale a quello percorso in discesa su AB: è manifesto che, per tale mescolanza di moto ascendente equabile e di moto discendente accelerato, il mobile verrà spinto sul piano BC fino all'estremo C secondo i medesimi gradi di velocità , che risulteranno eguali. Presi infatti due punti qualsiasi D ed E, ad eguale distanza dall'angolo B, potremo ricavare che la discesa per DB avverrà in un tempo eguale al tempo del moto riflesso per BE. Tracciata la DF, essa sarà parallela alla BC; è noto infatti che il moto di discesa per AD viene riflesso lungo la DF: ora, se dopo D il mobile si muovesse sull'orizzontale DE, l'impeto in E sarebbe eguale all'impeto in D; dunque, da E salirebbe fino in C; dunque, il grado di velocità in D è eguale al grado [di velocità ] in E.
Da ciò, pertanto, possiamo ragionevolmente asserire che, se ha luogo la discesa su un qualche piano inclinato e dopo di essa ha luogo la riflessione su un piano ascendente, il mobile, in virtù dell'impeto acquistato, salirà fino alla medesima altezza o elevazione dall'orizzonte; ad esempio [v. figura 61], se la discesa si svolge lungo AB, il mobile si muoverà sul piano riflesso BC fino all'orizzontale ACD, non soltanto se i piani avranno eguale inclinazione, ma anche se saranno di inclinazione diseguale, come il piano BD: infatti, abbiamo prima assunto che i gradi di velocità , che si acquistano su piani diversamente inclinati, risultano eguali a condizione che sia eguale la elevazione di quegli stessi piani sull'orizzonte. Se infatti l'inclinazione dei piani EB e BD fosse la medesima, la discesa per EB sarebbe in grado di spingere il mobile sul piano BD fino al punto D; ma tale spinta ha luogo in virtù dell'impeto di velocità acquistato nel punto B, e in B l'impeto è lo stesso, sia che il mobile scenda per AB, sia che scenda per EB; ne risulta allora che il mobile sarà spinto sul piano BD dopo la discesa per AB allo stesso modo che dopo la discesa per EB. Accadrà però che il tempo della salita sul piano BD sarà più lungo del tempo della salita sul piano BC, siccome anche la discesa per EB avviene in un tempo più lungo di quella per AB; del resto, abbiamo già dimostrato che la proporzione dei tempi è eguale a quella delle lunghezze dei piani. Ci resta ora da investigare la proporzione tra gli spazi percorsi in tempi eguali su piani, che abbiano diverse inclinazioni, ma eguale elevazione, cioè che siano compresi entro le medesime parallele orizzontali. Ciò avviene secondo la seguente proporzione.
TEOREMA 15. PROPOSIZIONE 24
[v. figura 62]
Siano dati, [nello spazio compreso] entro le medesime parallele orizzontali, una perpendicolare e un piano inclinato innalzato dall'estremo inferiore di essa: lo spazio, che il mobile dopo la caduta lungo la perpendicolare percorre sul piano ascendente in un tempo eguale al tempo della caduta, è maggiore della stessa perpendicolare, ma minore del doppio di essa.
TEOREMA 16. PROPOSIZIONE 25
[v. figura 63]
Se, dopo la caduta lungo un piano inclinato, il moto prosegue sul piano dell'orizzonte, il tempo della caduta lungo il piano inclinato starà al tempo del moto lungo un qualsiasi tratto dell'orizzonte, come il doppio della lunghezza del piano inclinato sta al tratto orizzontale preso.
PROBLEMA 10. PROPOSIZIONE 26
[v. figura 64]
Data una perpendicolare [compresa] tra linee parallele orizzontali, e dato uno spazio maggiore della medesima perpendicolare, ma minore del doppio di essa, dall'estremo inferiore della perpendicolare innalzare, [nello spazio compreso] tra quelle medesime parallele, un piano tale che il mobile, se riflesso su questo piano dopo la discesa lungo la perpendicolare, percorra uno spazio eguale a quello dato, e in un tempo eguale al tempo della discesa lungo la perpendicolare.
TEOREMA 17. PROPOSIZIONE 27
[v. figura 65]
Se un mobile scende su piani diseguali, ma aventi la medesima elevazione, lo spazio, che viene percorso nella parte inferiore del piano più lungo in un tempo eguale a quello impiegato a percorrere l'intero piano più breve, è eguale allo spazio composto dello stesso piano più breve e di quel tratto rispetto al quale il medesimo piano più breve ha una proporzione pari a quella che il piano più lungo ha rispetto all'eccesso del più lungo sul più breve.
PROBLEMA 11. PROPOSIZIONE 28
[v. figura 66]
La linea orizzontale AG sia tangente a un cerchio, e dal punto di contatto si conduca il diametro AB; si considerino inoltre due corde qualsiasi AEB: bisogna determinare la proporzione del tempo della caduta lungo AB al tempo della discesa lungo ambedue le corde AEB.
TEOREMA 18. PROPOSIZIONE 29
Sia dato uno spazio orizzontale qualsiasi, e dal suo estremo sia innalzata la perpendicolare, sulla quale si prenda un tratto eguale alla metà dello spazio orizzontale dato; il mobile, che scenda da tale altezza e sia deviato sul piano orizzontale, percorrerà lo spazio orizzontale e la perpendicolare, presi insieme, in più breve tempo di [quello che impiegherebbe a percorrere] un qualsiasi altro tratto della perpendicolare insieme al medesimo spazio orizzontale.
TEOREMA 19. PROPOSIZIONE 30
Se da un punto di una linea orizzontale scende una perpendicolare e da un altro punto, preso sulla medesima orizzontale, si deve condurre fino alla perpendicolare un piano inclinato, sul quale il mobile impieghi il tempo più breve per scendere fino alla perpendicolare; tale piano sarà quello che stacca dalla perpendicolare un tratto eguale alla distanza che intercorre tra il [secondo] punto preso sull'orizzontale e l'estremo della perpendicolare.
TEOREMA 20. PROPOSIZIONE 31...
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