[Pagina precedente]...rte tolta ea, si avrà che anche la parte rimanente starà all'altra parte rimanente, cioè ae ad na, come ae sta ad en. Dunque, an è la terza parte di ae e la sesta parte di au. Nel medesimo modo si dimostra poi che i cilindri della figura circoscritta si eccedono egualmente, che gli eccessi sono eguali al cilindro minimo, e che i loro centri di gravità si trovano sulla linea em a distanze eguali. Se, pertanto, si divide em in p, in modo che ep sia doppia della rimanente pm, p sarà il centro di gravità dell'intera grandezza circoscritta: inoltre, poiché ep è doppia di pm, mentre ae è minore del doppio di em (poiché le è eguale), l'intera ae risulterà minore del triplo della ep; perciò ep sarà maggiore della en. Inoltre, essendo la em tripla della mp ed essendo [la somma di] me col doppio di ea parimenti tripla della me, allora l'intera ae, insieme con la ae, sarà tripla della ep. Ma ae è tripla della en; perciò la rimanente ae sarà tripla della rimanente pn. Pertanto np è la sesta parte della au. Questo è appunto quanto si doveva dimostrare.
Da ciò è manifesto che in un conoide parabolico è possibile inscrivere una figura e circoscriverne un'altra, in modo che i loro centri di gravità distino dal punto n meno di qualunque linea data. Se, infatti, data una linea, ne prendiamo un'altra sei volte maggiore, e se facciamo gli assi dei cilindri, dai quali sono costituite le figure, minori della linea così presa; allora le linee che si trovano fra il centro di gravità di ciascuna di queste figure e il punto n, saranno minori della linea data.
ALTRA DIMOSTRAZIONE DELLO STESSO
[v. figura 85]
L'asse di un conoide, che sia cd, venga diviso in o in modo che co sia doppia di od. Bisogna mostrare che il centro di gravità della figura inscritta si trova sulla linea od, mentre il centro di quella circoscritta si trova sulla co. Le figure siano intersecate da un piano [passante] per l'asse e per c, come si è detto. Ordunque, poiché i cilindri sn, tm, vi, xe stanno tra loro come i quadrati delle linee sd, tn, vm, xi; [poiché] d'altra parte questi [quadrati] stanno tra di loro come le linee nc, cm, ci, ce; [poiché] inoltre queste [linee] si eccedono egualmente e gli eccessi sono eguali alla minima, cioè alla ce; e [poiché] il cilindro tm è eguale al cilindro qn, mentre il cilindro vi è eguale al cilindro pn, e il cilindro xe è eguale al cilindro ln; dunque, i cilindri sn, qn, pn, ln si eccedono egualmente e gli eccessi sono eguali al minimo di essi, cioè al cilindro ln. Ma l'eccesso del cilindro sn sul cilindro qn è un anello, la cui altezza è qt, cioè nd, e la cui larghezza è sq; l'eccesso del cilindro qn sul cilindro pn è un anello, la cui larghezza è qp; infine l'eccesso del cilindro pn sul cilindro ln è un anello, la cui larghezza è pl. Perciò i suddetti anelli sq, qp, pl sono eguali [equivalenti] tra di loro e al cilindro ln. L'anello st è pertanto eguale al cilindro xe; l'anello qv, doppio dell'anello st, è eguale al cilindro vi, il quale è similmente doppio del cilindro xe; e per la stessa ragione, l'anello px sarà eguale al cilindro tm, e il cilindro le al cilindro sn. Pertanto, sulla bilancia kf, la quale unisce i punti medi delle rette ei e dn ed è intersecata in parti eguali nei punti h e g, si trovano delle grandezze, cioè i cilindri sn, tm, vi, xe; e il centro di gravità del primo cilindro è k, quello del secondo è h, quello del terzo è g, e quello del quarto è f. Ma abbiamo anche un'altra bilancia mk, che è la metà della fk, e che è divisa da altrettanti punti in parti eguali, cioè mh, hn, nk; su di essa si trovano altre grandezze, le quali sono eguali in numero e grandezza a quelle che si trovano sulla bilancia fk, e hanno i [rispettivi] centri di gravità nei punti m, h, n, k, e sono disposte nel medesimo ordine. Il cilindro le ha infatti il centro di gravità in m, ed è eguale al cilindro sn, che ha il centro di gravità in k; l'anello px ha il centro di gravità in h, ed è eguale al cilindro tm, il cui centro di gravità è h; l'anello qv, avente il centro di gravità in n, è eguale al cilindro vi, il cui centro è g; infine l'anello st, avente il centro di gravità in k, è eguale al cilindro xe, il cui centro è f. Pertanto, il centro di gravità delle suddette grandezze divide la bilancia secondo la medesima proporzione: ma il loro centro è unico, e perciò è un qualche punto comune ad entrambe le bilance, il quale [punto] sia y. Pertanto fy starà a yk come ky a ym; dunque, fy è doppia della yk; e divisa la ce a metà in z, zf sarà doppia di kd, e di conseguenza zd sarà tripla della dy. Ma della retta do è tripla la cd: dunque, la retta do è maggiore della dy; e perciò il centro di gravità y della figura inscritta è più vicino del punto o alla base. E poiché, come cd sta a do, così la parte tolta zd sta alla parte tolta dy, allora anche la parte rimanente cz starà alla parte rimanente yo come cd sta a do: cioè yo sarà la terza parte della cz, cioè la sesta parte della ce. Con identico procedimento mostreremo, d'altra parte, che i cilindri della figura circoscritta si eccedono egualmente, che gli eccessi sono eguali al cilindro minimo, e che i loro centri di gravità sono situati sulla bilancia kz a distanze eguali; inoltre [dimostreremo] parimenti che anelli eguali ai medesimi cilindri sono similmente disposti sull'altra bilancia kg, che è la metà della bilancia kz; e che, perciò, il centro di gravità della figura circoscritta, il quale sia r, divide le bilance in modo che zr stia ad rk, come kr sta ad rg. Dunque, zr sarà doppia della rk; ma cz sarà eguale alla retta kd, e non doppia: l'intera cd sarà allora minore del triplo della dr; perciò la retta dr è maggiore della do: ovverossia, il centro di gravità della figura circoscritta è più distante del punto o dalla base. E poiché zk è tripla della kr, e [la somma di] kd col doppio di zc è tripla di kd, l'intera cd, insieme con cz, sarà tripla della dr. Ma cd è tripla della do: perciò la parte rimanente cz sarà tripla dell'altra parte rimanente ro: cioè or è la sesta parte della ec. Che è quello che ci eravamo proposti.
Fatte queste dimostrazioni iniziali, si dimostra ora che il centro di gravità di un conoide parabolico divide l'asse in modo tale che la parte verso il vertice è doppia della rimanente parte verso la base.
[v. figura 86]
Sia un conoide parabolico, il cui asse ab venga diviso in n in modo che an sia doppia di nb. Bisogna mostrare che il centro di gravità del conoide è il punto n. Infatti, se non è n, si troverà o sotto o sopra di esso. In primo luogo [immaginiamo che] si trovi sotto, e sia esso x: si ponga a parte la linea lo, eguale alla nx, e la si divida a caso in s; e qual è la proporzione che [la somma di] ambedue le bx e os ha rispetto a os, tale sia anche la proporzione che il conoide ha rispetto al solido r: si inscriva nel conoide una figura [costituita] da cilindri aventi eguale altezza, in modo che la linea compresa tra il centro di gravità di essa [figura] e il punto n sia minore della linea ls, e l'eccesso, per il quale [quella figura] viene superata dal conoide, sia minore del solido r. Che poi ciò sia possibile, è manifesto. Sia pertanto inscritta [la figura], il cui centro di gravità sia i: sarà allora ix maggiore di so; poiché abbiamo che, come [la somma di] xb con so sta ad so, così il conoide sta ad r (ma r è maggiore dell'eccesso per il quale il conoide supera la figura inscritta), la proporzione del conoide al suddetto eccesso sarà maggiore della proporzione che [la somma di] ambedue le bx e os ha rispetto ad so: scomponendo, la figura inscritta avrà , rispetto al suddetto eccesso, una proporzione maggiore della proporzione di bx ad so. Ma la proporzione di bx a xi è ancora minore di quella che [la medesima bx] ha ad so: la figura inscritta avrà , pertanto, rispetto alle rimanenti porzioni, una proporzione molto maggiore di quella che bx ha ad xi. Pertanto, quale è la proporzione che la figura inscritta ha rispetto alle rimanenti porzioni, tale sarà anche la proporzione di un'altra linea qualsiasi a xi; [linea] che risulterà necessariamente maggiore di bx. Sia essa, pertanto, mx. Abbiamo così in x il centro di gravità del conoide, e in i quello della figura inscritta: dunque, il centro di gravità delle rimanenti porzioni, per le quali il conoide eccede la figura inscritta, si troverà sulla linea xm, e precisamente in quel punto che determinerebbe su di essa una linea tale, che il rapporto di quest'ultima a xi sia eguale alla proporzione che la figura inscritta ha rispetto all'eccesso, per il quale è superata dal conoide. Ma si è mostrato che tale proporzione è appunto quella che mx ha a xi: sarà dunque m il centro di gravità delle porzioni, per le quali il conoide eccede la figura inscritta. Il che non è certamente possibile: infatti, se per m si conduce un piano equidistante dalla base del conoide, tutte le porzioni suddette si troveranno da una stessa parte, e non saranno divise da esso. Pertanto, il centro di gravità del conoide non si trova al di sotto del punto n. Ma nemmeno [si trova] sopra. Infatti, qualora sia possibile, [immaginiamo che] esso sia h; e, di nuovo, come sopra, si ponga a parte la linea lo eguale alla hn, e la si divida a caso in s; e quale è la proporzione che [la somma di] entrambe le bn ed so ha ad sl, tale sia anche la proporzione che il conoide ha ad r; si circoscriva al conoide una figura [costituita] da cilindri nel modo che si è detto, la quale sia eccedente [rispetto al conoide] per una quantità minore del solido r; e la linea [compresa] tra il centro di gravità della figura circoscritta e il punto n sia minore di so: la restante uh sarà maggiore di ls; e poiché abbiamo che, come [la somma di] entrambe le bn e os sta ad sl, così il conoide sta ad r (ma r è maggiore dell'eccesso, per il quale il conoide è superato dalla figura circoscritta), dunque [la somma di] bn e os avrà rispetto ad sl una proporzione minore di quella che il conoide ha rispetto al suddetto eccesso. Ma bu è minore [della somma] di bn e os; uh, invece, è maggiore di sl: pertanto il conoide avrà rispetto alle suddette porzioni una proporzione molto maggiore di quella che bu ha ad uh. Pertanto, quale è la proporzione che il conoide ha rispetto a quelle medesime porzioni, tale sarà pure la proporzione che una linea maggiore della bu avrà rispetto alla uh. L'abbia, dunque, e sia essa mu; poiché il centro di gravità della figura circoscritta è u, e il centro di gravità del conoide è h, e poiché abbiamo inoltre che, come il conoide sta alle porzioni rimanenti, così mu sta a uh, sarà allora m il centro di gravità di quelle porzioni rimanenti: il che è similmente impossibile. Il centro di gravità del conoide non si trova dunque al di sopra del punto n: ma si è dimostrato che non si trova neppure al di sotto: resta dunque che esso debba necessariamente trovarsi proprio in n. E col medesimo procedimento ciò si dimostrerà di un conoide intersecato da un piano non perpendicolare all'asse. In altre parole, ma è la stessa cosa, come risulta nel [teorema] seguente, il centro di gravità di un conoide parabolico va a cadere tra il centro della figura circoscritta e il centro di quella inscritta.
[v. figura 87]
Sia un conoide avente asse ab: il centro della figura circoscritta sia c, e quello della figura inscritta sia o. Dico, che il centro del conoide si trova tra i punti c e o. Infatti, se ciò non fosse, dovrà trovarsi o al di sopra, o al di sotto, o in uno di essi. Sia al di sotto, ad esempio in r: poiché r è il centro di gravità dell'intero conoide e o il centro di gravità della figura inscritta, dunque il centro di gravità di tutte le altre porzioni, per le quali la figura inscritta è superata dal conoide, si troverà sul prolungamento della linea or dalla parte di r, e precisamente in quel punto che delimita [questo prolungamento] in modo che, quale è la proporzione delle dette porzioni alla figura inscritta, tale sia anche la proporzione che la linea or ha rispetto alla linea compresa tra r e quel punt...
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