[Pagina precedente]...re della np, essendo lp eguale a ce; e ic sarà minore di ln: e poiché [la somma di] ambedue le be ed np sta ad np come il cono sta a x, mentre l'eccesso, per il quale il cono supera la figura inscritta, è minore del solido x, dunque il cono avrà rispetto al suddetto eccesso una proporzione maggiore di quella che [la somma di] ambedue le be ed np ha ad np; e, scomponendo, la figura inscritta avrà rispetto all'eccesso, per il quale essa è superata dal cono, una proporzione maggiore di quella che [be] ha ad np. Ma be ha ad ei una proporzione ancora minore di quella che be ha ad np, essendo ie maggiore di np; dunque, la figura inscritta avrà rispetto all'eccesso, per il quale è superata dal cono, una proporzione molto maggiore di quella che be ha ad ei. Pertanto, quale è la proporzione che la figura inscritta ha rispetto al suddetto eccesso, tale sarà la proporzione che rispetto ad ei avrà una linea maggiore della be. Sia essa me: poiché, dunque, me sta ad ei come la figura inscritta sta all'eccesso, per il quale è superata dal cono, e poiché e è il centro di gravità del cono, mentre i è il centro di gravità della figura inscritta, sarà allora m il centro di gravità delle porzioni rimanenti, per le quali il cono eccede la figura che gli è inscritta; ciò che è impossibile. Pertanto il centro di gravità del cono non si trova al di sotto del punto c. Ma neppure [si troverà ] sopra. Infatti, se è possibile, sia esso r; e inoltre si prenda la linea lp, divisa a caso in n; e quale è la proporzione che [la somma di] ambedue le bc ed np ha ad nl, tale sia la proporzione che il cono ha ad x; e similmente si circoscriva al cono una figura, dalla quale esso sia superato per una quantità minore del solido x; infine la linea, compresa tra il centro di gravità di quella [figura circoscritta] e c, sia minore della np. Sia, dunque, o il centro di gravità della figura circoscritta: la rimanente or sarà maggiore della nl. E poiché, come [la somma di] ambedue le bc e pn sta ad nl, così il cono sta a x, mentre l'eccesso, per il quale il cono è superato dalla figura circoscritta, è minore di x, e poiché la bo è minore [della somma] di ambedue le bc e pn, mentre la or è maggiore della ln; il cono, dunque, rispetto alle rimanenti porzioni, per le quali è superato dalla figura circoscritta, avrà una proporzione molto maggiore di quella che bo ha ad or. Tale sia la proporzione di mo a or: mo sarà maggiore di bc; ed m sarà il centro di gravità delle porzioni, per le quali il cono è superato dalla figura circoscritta; il che è sconveniente. Il centro di gravità del cono non si trova, dunque, al di sopra del punto c: ma, come si è mostrato, neppure si trova al di sotto: dunque, esso sarà lo stesso c. La stessa cosa, e con identico procedimento, si dimostrerà per una piramide qualsiasi.
[LEMMA]
Se si hanno quattro linee in proporzione continua; e se, quale è la proporzione che la minima di esse ha rispetto all'eccesso, per il quale la massima supera la minima, tale sia anche la proporzione che una linea [opportunamente] presa ha rispetto ai 3/4 dell'eccesso, per il quale la massima supera la seconda; se, inoltre, quale è la proporzione che la linea eguale alla [somma della] massima, col doppio della seconda e col triplo della terza, ha rispetto alla linea eguale al [la somma del] quadruplo della massima, col quadruplo della seconda e col quadruplo della terza, tale sia la proporzione che un'altra linea [opportunamente] presa ha rispetto all'eccesso, per il quale la massima supera la seconda: queste due [ultime] linee, prese insieme [ossia la loro somma], saranno la quarta parte della massima delle [linee] proporzionali [considerate].
[v. figura 95]
Siano infatti quattro linee proporzionali, ab, bc, bd, be; e quale è la proporzione che be ha ad ea, tale sia anche quella che fg ha rispetto ai 3/4 della ac; inoltre, quale è la proporzione che la linea, eguale alla [somma di] ab, col doppio di bc e col triplo di bd, ha rispetto alla linea, eguale al quadruplo [della somma] delle ab, bc, bd, tale sia la proporzione che hg ha ad ac. Bisogna mostrare che hf è la quarta parte della ab. Pertanto, poiché le ab, bc, bd, be sono proporzionali, nella medesima proporzione si troveranno anche le ac, cd, de; e come il quadruplo [della somma] delle ab, bc, bd sta alla [somma di] ab col doppio di bc e col triplo di bd, così il quadruplo [della somma] delle ac, cd, de, cioè il quadruplo della ae, sta alla [somma di] ac col doppio di cd e col triplo di de; e così pure ac sta ad hg: dunque, come il triplo della ae sta alla [somma di] ac col doppio di cd e col triplo di de, così i 3/4 della ac stanno ad hg. Ma come il triplo di ae sta al triplo di eb, così i 3/4 della ac stanno a gf: dunque, per la reciproca della ventiquattresima del quinto, come il triplo della ae sta alla [somma di] ac col doppio di cd e col triplo di db, così i 3/4 della ac stanno ad hf; e come il quadruplo della ae sta alla [somma di] ac col doppio di cd e col triplo di db, cioè alla [somma di] ab con cb e bd, così ac sta ad hf; e, permutando, come il quadruplo di ae sta ad ac, così la [somma di] ab con cb e bd sta ad hf; ma come ac sta ad ae, così ab sta alla [somma di] ab con cb e bd: dunque, ex aequali, in proporzione perturbata, come il quadruplo di ae sta ad ae, così ab sta ad hf. Risulta perciò che hf è la quarta parte della ab.
In un qualsiasi frusto di piramide, o di cono, intersecato da un piano equidistante dalla base, il centro di gravità si trova sull'asse, e lo si divide in modo che la parte verso la base minore sta alla [parte] rimanente come [la somma del] triplo della base maggiore col doppio dello spazio che è medio [proporzionale] tra la base maggiore e la minore, sta al [la somma del] triplo della base minore col doppio del medesimo spazio medio [proporzionale] e con la base maggiore.
[v. figura 96]
Dal cono o dalla piramide, il cui asse è ad, per mezzo di un piano secante equidistante dalla base, sia staccato un frusto, il cui asse è ud; e quale è la proporzione che [la somma del] triplo della base maggiore col doppio della media [proporzionale tra la base maggiore e la minore] e con la base minore, ha rispetto al [la somma del] triplo della base minore col doppio della media e con la massima, tale sia la proporzione che uo ha ad od. Bisogna mostrare che o è il centro di gravità del frusto. Sia um quarta parte della ud. Si ponga a parte la linea hx eguale alla ad, e sia kx eguale ad au; inoltre delle hx e kx sia terza proporzionale xl, e quarta proporzionale xs: e quale è la proporzione che hs ha ad sx, tale sia quella che md ha rispetto a una linea presa a partire da o verso a, la quale sia on. E poiché la base maggiore sta a quella, che è media proporzionale tra la maggiore e la minore, come da sta ad au, cioè come hx sta a xk, mentre la detta media sta alla minore come kx sta a xl; la base maggiore, la media e la minore staranno tra di loro nella medesima proporzione [in cui stanno] anche le linee hx, xk, xl. Perciò, come [la somma del] triplo della base maggiore col doppio della media e con la minore, sta al [la somma del] triplo della minima col doppio della media e con la massima, cioè come uo sta a od, così [la somma del] triplo di hx col doppio di xk e con xl, sta al [la somma del] triplo di xl col doppio di xk e con xh; e, componendo e permutando, od starà a du, come la [somma di] hx col doppio di xk e col triplo di xl sta al quadruplo [della somma] delle hx, xk, xl. Si hanno dunque quattro linee proporzionali, hx, xk, xl, xs; e quale è la proporzione che xs ha ad sh, tale è quella che una linea [opportunamente] presa no ha rispetto ai 3/4 della du, cioè a dm, cioè ai 3/4 della hk; inoltre, quale è la proporzione che la [somma di] hx col doppio di xk e col triplo di xl ha rispetto al quadruplo [della somma] delle hx, xk, xl, tale è anche la proporzione che un'altra linea [opportunamente] presa od ha rispetto a du, cioè ad hk: dunque (per le cose che si sono dimostrate) dn sarà la quarta parte della hx, cioè della ad; perciò il punto n sarà il centro di gravità del cono, o della piramide, il cui asse è ad. Sia i il centro di gravità del cono, o della piramide, il cui asse è au. Risulta, dunque, che il centro di gravità del frusto si trova sul prolungamento della linea in dalla parte di n, e proprio in quel punto che col punto n delimita una linea tale, che rispetto ad essa in abbia la medesima proporzione che il frusto staccato ha rispetto alla piramide o al cono, il cui asse è au. Resta pertanto da mostrare che in ha ad no la medesima proporzione che il frusto ha rispetto al cono, il cui asse è au. Ma come il cono, il cui asse è da, sta al cono, il cui asse è au, così il cubo da sta al cubo au, cioè il cubo hx al cubo xk: ma questa medesima proporzione è quella che hx ha ad xs: perciò, scomponendo, come hs sta ad sx, così il frusto, il cui asse è du, starà al cono, o alla piramide, il cui asse è ua. Ma come hs sta ad sx, così pure md sta a on; perciò il frusto sta alla piramide, il cui asse è au, come md sta ad no. E poiché an è 3/4 della ad, mentre ai è 3/4 della au; la rimanente in sarà 3/4 della rimanente ud; perciò in sarà eguale alla md. Si è poi dimostrato che md sta ad no come il frusto sta al cono au: risulta dunque che questa medesima proporzione è anche quella che in ha ad no. È perciò manifesto quello che ci eravamo proposti.
(1) Il brano in forma di dialogo tra le interlinee, che Galileo voleva inserire in questo punto, è stato scritto dal suo discepolo Vincenzo Viviani (Firenze 1622-1703). [nota per l'edizione elettronica Manuzio]
(2) In realtà , avendo l'edizione U.T.E.T. omesso una dimostrazione, ci si riferisce qui all'ultima figura. [nota per l'edizione elettronica Manuzio]
